Магнитный момент Анализ диаграмм Фейнмана для электромагнитных взаимодействий адронов показывает, что при электромагнитных распадах не происходит превращения одного кварка в другой. Аннигиляция электрон-позитронной пары в два -кванта также (см. приложение к тексту лекции) не изменяет природу частицы в вершине (узле) диаграммы.

Уравнение Шредингера для свободных электронов. Граничное условие Борна-Кармана.

В отсутствие взаимодействия одноэлектронная волновая функция, соответствующая энергия Е, удовлетворяющая уравнению Шредингера

-(h/2/2m) 2psi = Еpsi(r)

(1.18)

и периодическими граничным условиям Борна-Кармана

psi(x,y,z+L) = psi(x,y,z); psi(x,y+L,z) = psi(x,y,z); psi(x+L,psi,z) =psi(x,psi,z);

(1.19)

Решение волнового уравнения называют орбиталями. Оно имеет вид плоской волны

psik(r)=(1/V)1/2 exp(ikr);

(1.20)

при этом энергия электронов

Е(k) = (h/k)2/2m ,

(1.21)

где k - любой вектор, не зависящий от пространственных координат, так что p = h/k, v = p/m = h/k/m. Соответственно, энергия электрона может быть записана в привычном классическом виде

Е = p2/2m = mv2/2.

(1.22)

Величину k можно интерпретировать как волновой вектор плоской волны, поскольку плоская волна ехр(ikr) имеет постоянное значение на любой плоскости переменной k и является периодической функцией в направлениях параллельных k. Соответствующая lambda = 2pi/k -длина волны де Бройля. Собственные значения k: ki = 2pini/L , где i = x,psi, z и ni = целые числа. Плотность уровней в k-пространстве: 1/(2pi/L)2 или V/(2pi)3. В основном (с Т = 0) состоянии система из N электронов заполняет сферу в k-пространстве радиусом kF (сфера Ферми, если не сфера, то - не наинизшее состояние!) [an error occurred while processing this directive]

4/3pikF3 = N/2 (2pi/L)3

Откуда для волнового вектора Ферми получаем

kF = (3pi2N/V)1/3 = (3pi2/omega)1/3 = (3pi2n)1/3,

(1.23)

где omega = 1/n = L3/N = V/N -объем, приходящийся на один электрон. Нередко этот объем представляют в виде сферы радиуса rs = (3omega/(4pi))1/3 =(3/(4pin))1/3 и тогда

kF = (3pi2/(4/3pirs3)1/3 = 1/rs (9pi/4)1/3 = 1.92/rs = 3.63/(rs/a0)1/A,

(1.24)

где а0 = h/2/mе2 = 0.529 10-8 см - боровский радиус.

vF = (h/kF/m)= (h//m) (3pi2/omega)1/3 = (h//m)(3pi2n)1/3 = 4.20·108/(rs/a0) см/с.

(1.25)

Учитывая, что а0 = h/2/mе2, энергию Ферми часто записывают в виде

Е F = (h/kF)2/2m = (е2/2а0) (kFa0)2 = Rpsi(kFa0)2,

(1.26)

где Rpsi = е2/2а0 = 13.6 эВ - постоянная Ридберга, представляет собой энергию связи основного состояния атома водорода. Поскольку kFa0 ~ единицы, то эн. Ферми по порядку величины соответствует энергии связи в атоме. Для практических оценок:

Е F = 50.1 эВ/(rs/a0)2.

(1.27)

Поскольку ЕF = (h/2/2m) (3pi2 N/V)2/3 то полное число орбиталей с энергиями < Е:

N = (V/3pi2) (2mepsilon/kappa2)3/2 .

(1.28)

Отсюда плотность состояний ( число одноэлектронных орбиталей на единичный интервал энергии в единице объема):

g(Е) = dn/dЕ = (1/2pi2) (2m/h/2)3/2 Е1/2.

(1.29)

Или по другому,

ln (n=N/V) = 3/2 ln Е + const ; dN/N = 3/2 dЕ/Е.

Следовательно,

g(Е) = dn/dЕ = 3/2 n/Е.

(1.30)

    Чаще всего интересует плотность уровней на границе Ферми, как и другие характеристики электронов в этой области. Из предыдущего видно, что в пределах фактора порядка единицы, плотность орбиталей в области энергии Ферми = полному числу фермиевских электронов, деленному на энергию Ферми.
    Чтобы рассчитать энергию, приходящуюся на один фермиевский электрон, для полной энергии ф. электронов в некотором объеме V запишем

U = 2(h/2/2m)k2.

(1.31)

Поскольку объем k-пространства, приходящийся на одно разрешенное значение k, deltak = 8pi3/V, то умножая обе части ур-я на deltak и переходя к интегрированию, получаем

U8pi3/V = 2h/2/2mdk k2 = 8pih/2/2mkF5/5 ,

(1.32)

т.е. U/V = (1/pi2)h/2kF5/10m. Чтобы найти U/N, т.е. энергию основного состояния в расчете на один электрон, необходимо поделить на N/V = kF2/3pi2 , что дает

U/N = 3/10h/2 kF2/m = 3/5 EF.

(1.33)

Этот результат можно записать как

U/N = 3/5 kBTF ,

(1.34)

где TF - температура Ферми определяется соотношением

TF = ЕF/kБ = 58.2/(rs/a0)2 104 K.

(1.35)

Т.о., температура основного состояния ~104-105 K, а не нуль как это следовало бы из теории классического газа!!!

Условие полноты системы Нейтрино и антинейтрино – разные частицы. Частица, излучаемая вместе с электроном в -распаде ядер – антинейтрино. Опыт показал, что антинейтрино не вызывают реакцию образования ядер аргона из ядер хлора, которая идет при участии нейтрино (например, нейтрино, которые излучаются Солнцем –опыт Дэвиса):
На главную