Позиционные задачи на пересечение прямых и плоскостей Пример. Вычислить несобственный интеграл http://istdiz.ru/
Машиностроительное черчение Разьемные соединения Основные элементы и параметры  резьбы Соединение болтом Соединение шпилькой Соединение  трубное Неразьемные соединения

Математика задачи на решение числовых рядов

Степенные ряды Поточечная сходимость

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

.  (1)

Здесь  – числовая последовательность,  – фиксированное число (точка). Ряд (1) называется смещенным. Удобнее рассматривать несмещенный степенной ряд

,  (2)

а результаты перенести на смещенный степенной ряд заменой  на .

Структура множества точек поточечной сходимости степенного ряда (2) определяется следующей теоремой. [an error occurred while processing this directive]

ТЕОРЕМА  АБЕЛЯ

Если : ряд  сходится, то  ряд  сходится (абсолютно).

Если : ряд  расходится, то  ряд  расходится.

Доказательство. Поскольку ряд  сходится, то по необходимому условию . Сходящаяся последовательность всегда ограничена, т.е. .

Пусть  – фиксированное и . Тогда , т.е. члены ряда  меньше () соответствующих членов ряда , который сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем .

Итак, на  исходный ряд сходится (абсолютно).

Пусть ряд  расходится. Возьмем произвольное фиксированное . Предположим, что ряд  сходится, тогда по доказанному выше в каждой точке  ряд  сходится, т.е., в частности, ряд  сходится, а это противоречит предположению о его расходимости. Требуемое утверждение обосновано.

Замечание. Для множества  – точек сходимости ряда (2) (в рассматриваемом случае) , для множества   – точек расходимости ряда (2) . Поскольку в каждой точке числовой оси ряд (2) сходится или расходится, то  – число (радиус сходимости) такое, что   ряд  сходится, а для  ряд  расходится. Интервал  – интервал сходимости ряда (2). Поведение ряда при  и при  требует дополнительного исследования.

Итак, область сходимости несмещенного степенного ряда  есть интервал сходимости  с возможно присоединенными "концами"; для смещенного степенного ряда  область сходимости есть интервал  с возможно присоединенными концами  или .

Для нахождения  – радиуса сходимости можно использовать следующие рассуждения.

(*) В степенном ряде НЕТ нулевых слагаемых, т.е. степени переменной расположены подряд, без пропусков. Степенной ряд имеет вид . В этом случае рассмотрим ряд из абсолютных величин, зафиксируем значение  и применим признак Д'Аламбера (или признак Коши). Получим

  (требуем) ; аналогично .

Пример . Найдем область сходимости степенного ряда , используя известную структуру его области сходимости. Равномерная сходимость

Разложение функций в степенные ряды Пример Пусть Рассмотрим ряд , можно вычислить радиус сходимости , т.е. на  . После почленного дифференцирования получим , т.е. функция  – решение задачи Коши ДУ  или . Уметь находить промежуток сходимости степенного ряда

Понятие числового ряда Свойства сходящихся рядов

Числовые ряды с неотрицательными членами. Достаточные признаки сходимости Одним из признаков существования предела является следующее утверждение: если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Лемма. Если члены ряда неотрицательны, то он сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Ряд называется знакопеременным, если его членами являются действительные числа произвольного знака. Рассмотрим знакопеременный ряд

Функциональные ряды

Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды.

Задача. Найти сумму ряда. Исследовать на сходимость ряд

Вычислить сумму ряда с точностью . Найти область сходимости ряда

Задача . Представление степенными рядами первообразных "неберущихся" интегралов, т.е. тех интегралов, первообразные которых не выражаются через элементарные функции.

Элементарные функции комплексной переменной (сокр. ФКП) К элементарным ФКП относятся следующие функции: степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические; функции, обратные к указанным. Функции, получающиеся из перечисленных в результате суперпозиций, арифметических действий, действий возведения в степень и извлечения корня ""-й степени, обычно тоже называются элементарными Рациональные ФКП Вычислить приближенно . Гиперболические ФКП. Формулы ЭЙЛЕРА Вычислить .

Тригонометрические ряды терменология. Постановка задачи

Разложение функций в степенные ряды Тейлора имеют недостатки: суммой сходящихся степенных рядов могут быть лишь функции, дифференцируемые в точке бесконечное множество раз; частичные суммы степенного ряда приближают функцию только в некоторой окрестности точки разложения и т.д. Вместе с тем как в самой математике, так и в ее приложениях приходится исследовать функции, заданные на промежутках и имеющие там "изломы" и "скачки", т.е. не только недифференцируемые в некоторых точках, но даже и не являющиеся непрерывными на промежутках. Для таких функций может оказаться эффективным представление их тригонометрическими рядами.Периодические функции

Гармоники Простейшими периодическими функциями являются простые гармоники (или просто гармоники) – функции вида Условия разложения функции в тригонометрический ряд Фурье

Из сходимости тригонометрического ряда (4) имеем  или . Интуитивно ясно, что равенство возможно лишь при одновременном стремлении нулю последовательностей  и  при .

Достаточные условия сходимости тригонометрического ряда Фурье Характер и скорость сходимости ТРФ функции определяется не только непрерывностью функции, но главным образом ее гладкостью на промежутке периодичности. Тригонометрические рыды Фурье для четных и нечетных функций Разложение непериодической функции в тригонометрический ряд Фурье

Пример. Разложить функцию ,  в ТРФ, доопределив ее четным образом на . Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье Рассмотрим –периодическую функцию , ( – время), удовлетворяющую условиям разложимости в ТРФ Обозначим . Пример. Разложить  – периодическую функцию , заданную на  соотношением  в ТРФ в комплексной форме.


Выполнение чертежей деталей, имеющих сопряжения