Машиностроительное черчение Разьемные соединения Основные элементы и параметры  резьбы Соединение болтом Соединение шпилькой Соединение  трубное Неразьемные соединения

Математика функции комплексной переменной

Понятие функции комплексной переменной. Простейшие свойства определение ФКП

Если каждому значению комплексной переменной    из множества  расширенной комплексной
 – плоскости по правилу  соответствует комплексное число   из множества  расширенной комплексной – плоскости, то   есть комплексная (или комплекснозначная) функция комплексной переменной (сокр. ФКП);
 – область определения,  – множество значений ФКП  .

Если каждому значению  соответствует единственное значение , то ФКП   называется однозначной,
в остальных случаях ФКП называется многозначной.

К элементарным ФКП относятся следующие функции: степенная, показательная, тригонометрическая, гиперболические; функции,
обратные к указанным. Функции, получающиеся из перечисленных в результате суперпозиций, арифметических действий, действий
возведения в целую степень и извлечения корня ""–й степени, обычно тоже называют элементарными. [an error occurred while processing this directive]

Для многозначной ФКП можно выделять однозначные ветви функции, например, для ФКП  при каждом конкретном значении .

Область определения ФКП может быть различной структуры.

Задание ФКП  на множестве  эквивалентно одновременному заданию двух действительнозначных функций двух
действительных переменных:

, (1)

где , , , .

Заметим, что вместо символа  часто используется символ .
В нашем тексте эти символы не различаются.

ФКП ,  не имеет графика. Геометрическую иллюстрацию задания ФКП обычно связывают со свойствами отображения точки  в точку  по правилу ;  – образ точки ,  – прообраз точки .

Если точка  описывает кривую  в – плоскости и точка ,  описывает кривую , то  есть образ  при отображении .

Установлено [1], что для простейших однозначных ФКП образ границы области есть граница образа области, при этом для образа области сохраняется ориентация его границы. Поэтому для нахождения образа области   при отображении   определяем в
 – плоскости сначала образ границы области , а затем устанавливаем образ самой области .

Задание

1. Выделить  и , если ; найти образ точки  при этом отображении.

Ответ: , , .

2. Найти образ прямой   при отображении .

Ответ: ,  – мнимая полуось.

3. Найти образ круга   при отображении   .

Ответ: .

4. Показать, что при отображении  область  переходит в полуплоскость .

16.2. ПРЕДЕЛ ФКП В ТОЧКЕ

Понятия предела ФКП в точке и непрерывности в точке
(на множестве) определяются аналогично соответствующим понятиям для действительнозначной функции действительного аргумента.

Пусть ФКП  определена и однозначна в окрестности точки   за исключением, быть может, самой точки .

Число  называется пределом ФКП  в точке , , если для всякой –окрестности числа  в
– плоскости –   существует такая –окрестность числа  – , что для каждого числа   из  образ  принадлежит , т.е.

.

Это определение имеет место для  и  как конечных, так и бесконечных. Для конкретного использования определения нужно расшифровать  и  (см. [18]).

Пример. Показать по определению . Для функции предыдущего примера построить ее частотные спектры

ФКП называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. В силу теоремы, сформулированной в п. 1.2, ФКП   непрерывна в точке (на множестве) тогда и только тогда, когда каждая из функций  и  непрерывна в точке (на множестве) как действительная функция двух действительных переменных. Поэтому же для ФКП справедливы теоремы о непрерывности суммы, произведения и отношения непрерывных функций, а также теорема о непрерывности сложной функции непрерывных функций.

Пример. Построить область, ограниченную линиями: ; ;

Дифференцирование ФКП Определение производной ФКП Условия дифференцируемости ФКП С понятием производной ФКП в точке связано понятие дифференцируемости ФКП в точке (на множестве).

Пример. Показать, что ФКП  всюду дифференцируема; вычислить производную ФКП.

Аналитичность ФКП Из множества дифференцируемых ФКП выделяются аналитические ФКП (сокр. АФКП); свойства аналитических ФКП изучает теория аналитических функций комплексной переменной. Однозначная ФКП   называется аналитической (иначе регулярной) в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Восстановление аналитической ФКП по известной ее действительной компаненте

Интеграл ФКП определение и свойства интеграла ФКП Пример. Вычислить интеграл , где  – отрезок, соединяющий точки   и .

Интегрирование аналитической ФКП. Теорема Коши Одним из важнейших свойств аналитической в области ФКП является независимость интеграла этой функции от дуги (от пути интегрирования).

Пример. Вычислить интеграл ,  – целое.

Интегральная формула Коши Пусть ФКП  – аналитическая в односвязной области , произвольный контур   "погружен" в ,  – произвольная точка внутри . Тогда в этой точке  значение ФКП  определяется через значения  на контуре  по интегральной формуле

Классификация особых точек ФКП Разложение ФКП в ряд Тейлора Пример. Разложить в ряд ФКП  по степеням .

Разложение ФКП в ряд Лорана Пусть однозначная ФКП  является аналитической функцией внутри кольца  между окружностями  и   с центром ; пусть   – произвольная точка этого кольца.

Пример. Убедиться, что для ФКП  ряд Лорана по степеням   состоит из конечного числа слагаемых.

Пример. Указать все области, в которых возможно разложение функции  в ряды Лорана по степеням . Найти эти разложения.

Классификация изолированных особых точек ФКП Пример. Показать, что функция  имеет УОТ .

Пример Показать, что для ФКП  точка  – полюс второго порядка, точка  – полюс первого порядка.

Интегрирование ФКП с помощью вычетов Вычет ФКП в особой точке, его вычичление Понятие вычета является одним из основных понятий в теории ФКП и ее приложениях. Пример. Вычислить вычеты ФКП

Основная теорема о вычетах Пусть ФКП  аналитическая на границе  области  и внутри этой области за исключением конечного множества изолированных особых точек . Построим около каждой особой точки  контур  так, чтобы внутри  была только одна особая точка ; контуры не пересекались; все контуры   были расположены внутри , ориентация всех контуров совпадает Пример Для  убедиться в выполнении равенства Вычислить .

Интегрирование функции действительной переменной методами теории ФКП


Выполнение чертежей деталей, имеющих сопряжения