Машиностроительное черчение сборочный чертеж Особенности  выполнения чертежей сварных соединений Пояснение к эскизу зубчатого колеса Эскизирование деталей Построить третью проекцию детали по двум заданным

Математика задачи на интегрирование и дифференцирование

Свертка односторонних функций, ее свойства. Теорема Бореля

Сверткой функций  и , заданных на , называется функция, равная интегралу ; она обозначается , т.е.

.  (21)

Свойства свертки

1. Симметрия, т.е. .

В самом деле, изменяя порядок интегрирования и полагая , получаем равенство

.

2. Если  и  – оригиналы, то и их свертка также является оригиналом с показателем роста, равным наибольшему из показателей роста функций   и . Рекомендуем доказать самостоятельно это утверждение или же посмотреть в [3].

ПРИМЕР 32. Найти свертку функций  и .

Решение. , здесь ко второму интегралу применено интегрирование по частям.

Теорема Бореля

Если функции  и  – оригиналы и ,  и , , то произведение изображений  является изображением свертки соответствующих оригиналов для :

.  (22)

В самом деле, по определению изображения имеем

.

Замечаем, что справа стоит двойной интеграл с областью интегрирования , изображенной на рисунке. Изменяя в этом интеграле порядок интегрирования, получаем

.

Замена переменной интегрирования  позволяет записать

.

Поскольку внутренний интеграл не зависит от , а внешний от , то двойной интеграл равен произведению двух интегралов, т.е.

.

Теорема Бореля применяется для нахождения оригинала в случае, когда изображение представлено в виде двух множителей, для каждого из которых оригинал устанавливается.

Ряды Тейлора

Применяя последовательно теорему о почленном дифференцировании степенного ряда, получим соотношение для n-го коэффициента ряда.

Пусть , R – радиус сходимости. Тогда  

Доказательство:

 - коэффициенты степенного ряда Тейлора

, т.е. ряд Тейлора для функции f(x) не всегда совпадает с самой функцией.


Машиностроительное черчение Виды соединений деталей