эффекта Комптона Формула Эйнштейна Изменение длины волны Момент импульса Космическое излучение Импульс потенциальная энеpгия Определённый интеграл Замена переменных Числовые ряды

Типовой расчет по высшей математике

Замена переменных.

 Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).

 Тогда если

1) j(a) = а, j(b) = b

2) j(t) и j¢(t) непрерывны на отрезке [a, b]

3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то

 Тогда

 Пример. [an error occurred while processing this directive]

 При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

 Пример.

, с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = p/2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.

 

15.5. Интегрирование по частям.

 Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

 Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.

Лекция 16. Приближенное вычисление определенного интеграла.

 Как было сказано выше, существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подынтегральная функция заменяется “близкой” к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.

16.1. Формула прямоугольников.

 Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x0, x1, … , xm, то в качестве функции “близкой” к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.

Если разбить отрезок интегрирования на n равных частей . При этом:

y0 = f(x0), y1 = f(x1), …. , yn = f(xn).

Составим суммы: y0Dx + y1Dx + … + yn-1Dx

 y1Dx + y2Dx + … + ynDx

Это соответственно нижняя и верхняя интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая – описанной.

 Тогда  или

  - любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.

 

16.2. Формула трапеций.

 Эта формула является более точной по

 у сравнению с формулой прямоугольников.

 Подынтегральная функция в этом случае

 заменяется на вписанную ломаную.

 Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.

 Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

16.3. Формула парабол

(формула Симпсона или квадратурная формула).

(Томас Симпсон (1710-1761)- английский математик)

 Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2).

 Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

 

 Уравнения этих парабол имеют вид Ax2 + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

  (1)

Обозначим .

Если принять х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то  (2)

Тогда уравнения значений функции (1) имеют вид: 

C учетом этого: .

Отсюда уравнение (2) примет вид: 

Тогда

 Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:

Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.

 Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла

 с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

 По формуле Симпсона получим:

 m

 0

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

 10

 x

 -2

 -1

 0

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 f(x)

2.828

3.873

 4

4.123

4.899

6.557

8.944

11.87

15.23

18.94

22.97

 Точное значение этого интеграла – 91.173.

 Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

 Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

 Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.

 Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд.

 Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.

Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл

Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для разложения подынтегральной функции формулой Маклорена.

 Разложение функции cos x имеет вид:

Зная разложение функции cos х легко найти функцию 1 – cos x:

В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей – от 0 до бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате преобразования.

Теперь представим в виде ряда подынтегральное выражение.

Теперь представим наш интеграл в виде:

В следующем действии будет применена теорема о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).

Вообще говоря, со строго теоретической точки зрения для применения этой теоремы надо доказать, что ряд сходится и, более того, сходится равномерно на отрезке интегрирования [0, 0,5]. Эти вопросы будут подробно рассмотрены позже (См. Действия со степенными рядами). Отметим лишь, что в нашем случае подобное действие справедливо хотя бы по свойствам определенного интеграла (интеграл от суммы равен сумме интегралов).

 Итак:

Итого, получаем:

Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.

Для справки: Точное (вернее – более точное) значение этого интеграла: 0,2482725418…

Несобственные интегралы. Интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ¥). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].

Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Понятие функции нескольких переменных. При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

Производная и дифференциал функции нескольких переменных. Частные производные. Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума. тОпределение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство ь ьто точка М0 называется точкой максимума.

Предельный признак Даламбера.

 Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.

 Если существует предел , то при r < 1 ряд сходится, а при r > 1 – расходится. Если r = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя. 

 Пример. Определить сходимость ряда .

Вывод: ряд сходится.

 Пример. Определить сходимость ряда

Вывод: ряд сходится.


Ядерная физика. Физика атомного ядра и частиц Примеры решения задач Физика для студентов технических университетов