эффекта Комптона Формула Эйнштейна Изменение длины волны Момент импульса Космическое излучение Импульс потенциальная энеpгия Определённый интеграл Замена переменных Числовые ряды

Типовой расчет по высшей математике

Правила вычисления неопределенных интегралов

.

.

Если  непрерывно дифференцируема, то .

Правило 3 показывает, что таблица интегралов справедлива независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или функцией. Заметим, что

Покажем это. Обозначим ах + b = t. Найдем дифференциал функции adx = dt. Выразим  или .

  хndx = at   .** [an error occurred while processing this directive]

 Как видно из 1,2 это правило основано на методе замены переменной, но замена проста и очевидно, что ее легко выполнить «в уме».

  cos x dx = d sin x, sin x dx = –d cos x,

.

 Пример 4.

.

 Проверка.

  .

 При дифференцировании получим подинтегральную функцию, следовательно интеграл взят верно.

 

  Пример 5.

.

 Проверка.

 

.

 

 Получим подинтегральную функцию, значит интеграл взят верно.

  Заметим, что под знаком интеграла выражение в скобках можно возвести в степень 51 и взять интеграл как линейную комбинацию интегралов от степенных функций. Понятно, что этот метод здесь крайне громоздок, и наглядно видно преимущество предложенного здесь метода.

 Пример 6.

 

.

  Пример 7.

.

 Пример 8.

.

  Пример 9.

.

 Пример 10.

.

 

Интегрирование по частям

 Если u(x) и v(x) – непрерывно дифференцируемые функции, то .

 Суть применения этого метода интегрирования состоит в том, что интеграл . Этот метод часто применяется, когда под интегралом стоит произведение «разнородных» функций, например, еdx и хb, е2х и sin b x, x и ln x, и arctg x и т.п.

 Пример 1.

.

  Здесь в интеграле подынтегральная функция не является произведение «разводных» функций х и cos x.

 Пример 2.

 

.

  Здесь в интеграле подынтегральная функция является алгебраической функцией, а не трансцендентной, как в данном интеграле.

 Иногда, применяя метод интегрирования по частям, удается получить нетривиальное уравнение для нахождения первообразной функции.

 Пример 3. Вычислим .

 Решение. Имеем

.

2 I = ex(cos x + sin x).

Поэтому

.

  Пример 4. Вычислим .

 Решение. Имеем

,

поэтому

.

Замена переменного Пусть функция f(x) непрерывна, функции х(t) и t(x)взаимно обратны и непрерывно дифференцируемы на соответствующих промежутках. Тогда первообразная для функции f(x) имеет вид F(x) = Ф(t(x)), где Ф(t) есть первообразная для функции f(x (t)) x(t). Коротко это утверждение записывается так: .

Простейшие интегралы,содержащие квадратный трехчлен

Сходимость несобственных интегралов Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть собственным, подразумевая наличие у него первообразной

Признаки сравнения несобственных интегралов по бесконечному промежутку

Признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций Общий и предельный признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций аналогичны таким же признакам для несобственных интегралов по бесконечному промежутку

Главные значения расходящихся несобственных интегралов К несобственным интегралам относятся так называемые интегралы в смысле главного значения. Если несобственный интеграл существует (сходится), то существует и интеграл в смысле главного значения и эти интегралы совпадают. Из существования интеграла в смысле главного значения не следует существование (сходность) соответствующего несобственного интеграла. Рассмотрим подробнее главные значения расходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от разрывных функций.

Интегралы Задача . Вычислить .

Задача . Вычислить .

 Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а гармонический ряд  расходится, то расходится и ряд .

  Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а ряд  сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд  тоже сходится.


Ядерная физика. Физика атомного ядра и частиц Примеры решения задач Физика для студентов технических университетов