Начертательная геометрия

Машиностроительное черчение Лекции по истории искусства, сопромату, физике

Пересечение гранной и криволинейной поверхности

В качестве примера рассмотрим пересечение поверхностей трехгранной призмы и полусферы (рис. 14). Решение задачи сводится к решению двух позиционных задач: пересечение поверхности с плоскостями (гранями многогранника) и с прямыми (ребрами многогранника).

Боковые грани заданной призмы являются отсеками горизонтально-проецирующих плоскостей. Поэтому горизонтальные проекции линии пересечения боковых граней с поверхностью полусферы совпадут с проекциями самих боковых граней. Напомним также, что при пересечении шара плоскостью всегда получается окружность (см. подраздел 3.2.4). Отсюда можно сделать вывод, что линиями пересечения всех граней призмы с поверхностью сферы будут окружности.

Проекции опорных точек 1, 2, 3 и 4 определяются без дополнительных построений — сначала на пересечении горизонтальных проекций оснований полусферы и призмы находятся точки 11, 21, 31 и 41, затем с помощью линий связи находятся фронтальные проекции 12, 22, 32 и 42.

Для определения остальных точек можно воспользоваться как горизонтальными (S, S¢), так и фронтальными (Г¢, Г¢, Г¢¢) плоскостями уровня. На чертеже примера рис. 14 приведены обе группы плоскостей.

Так, чтобы определить линию пересечения верхнего основания призмы с поверхностью полусферы, проведем плоскость S º ABC. Так как S||П1, то окружность радиуса RS, полученная в сечении полусферы плоскостью S, проецируется на П1 без искажения. На пересечении этой окружности с А1С1 находятся проекции 51 и 61, по которым с помощью линий связи определяются проекции 52 и 62 (из условия 5 Î АС и 6 Î АС).

Для построения точки 7 пересечения ребра СС¢ с поверхностью полусферы воспользуемся вспомогательной плоскостью Г, проходящей через грань АА¢СС¢ призмы (Г || П2). В сечении полусферы плоскостью Г будет дуга окружности, проходящей через точку 1; так как Г || П2, то на фронтальную плоскость проекций эта дуга радиусом О212 проецируется без искажения. На пересечении проекции дуги и С2С¢2 строится точка 72. Проекция 71 определяется из очевидного условия 71 º С1 º С¢1.

Проекции линий пересечения боковых граней AA¢BB¢ и BB¢CC¢ с поверхностью полусферы проецируются на плоскость П1 в прямые линии, совпадающие с проекциями граней, а на плоскость П2 — в дуги эллипсов. Напомним, чтобы правильно построить эллипс, необходимо найти его центр и проекции точек, лежащих на большой и малой оси эллипса (см. подраздел 3.2.3 и рис. 6). В примере рис. 14 малой осью эллипса является отрезок 2232, а на большой оси эллипса лежит точка 82. Чтобы найти положение точки 8, графически разделим отрезок 2131 пополам. Затем через полученную проекцию 81 проведем фронтальную плоскость уровня Г¢. Плоскость пересекает полусферу по дуге окружности радиусом RГ¢ (см. рис. 14). На пересечении линии связи и фронтальной проекции дуги строится точка 82. Попутно с точкой 8 определяется положение проекций промежуточной точки 10.

Рис. 14

Положение проекций точки 9 на рис. 14 найдено другим способом— проекцию 91 можно получить, опустив перпендикуляр из центра О1 на проекцию грани BB¢CC¢. Проекция 92 точки 9 определяется по полной аналогии с построением проекции 82.

Построение промежуточной точки 11 выполнено с помощью фронтальной плоскости уровня Г¢¢, точек 12, 13 и 14 — с помощью горизонтальной плоскости уровня S¢.

Лекции курсовые задачи чертежи лабораторные - математика, физика, ТОЭ, инженерная графика