Дифференцирование исчисление - решение задач

Инженерная графика
Начертательная геометрия
Практикум решения задач
Инженерная графика
Спецификация
Правила нанесения размеров
Выполнение чертежей деталей
Решение метрических задач
Единая система конструкторской
документации
Машиностроительное черчение
База графических примеров
Геометрическое черчение

 

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производная функции, ее геометрический и физический смысл Определение. Производной функции x ) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Односторонние производные функции в точке

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции

Логарифмическое дифференцирование Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Производная показательно - степенной функцииПроизводная обратных функций

Дифференциал функции Определение. Дифференциалом функции f ( x ) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.

Геометрический смысл дифференциалаДифференциал сложной функции

Формула Тейлора Формула Маклорена

Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора

Функция f(x) = sinx.Функция f(x) = cosx.Пример: Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.Пример: Вычислить sin28013¢15¢¢.Функция f(x) = ln(1 + x).

Теоремы о среднем

Теорема Ролля Теорема ЛагранжаТеорема Коши
Раскрытие неопределенностей

Правило Лопиталя

Пример: Найти предел .
Производные и дифференциалы высших порядков

Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функций

  Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

 2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Точки экстремума

Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Асимптоты Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Пример
Схема исследования функций

Векторная функция скалярного аргумента

Свойства производной векторной функции скалярного аргумента

Параметрическое задание функции

Уравнения некоторых типов кривых в параметрической форме

Производная функции, заданной параметрически

Кривизна плоской кривой

Свойства эволюты

Кривизна пространственной кривой

О формулах Френе

  • Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию  и построить ее
  • Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.график.
  • Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

 Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки . Если существуют конечные пределы  и , то они называются частными производными функции  в точке  по переменным x и y соответственно и обозначаются  и  (или:  и ).

 Для вычисления частной производной  (или ) пользуются известными формулами и правилами дифференцирования функции одной переменной, считая другую переменную y (или x) постоянной величиной.

Пример  5. Найдем частные производные функции .

Если считать y=const, то  - степенная функция от x , поэтому .

Если x=const, то  - показательная функция от y, и, следовательно, .

 Функция  называется дифференцируемой в точке , если существуют числа А и В такие, что приращение   функции f в точке  представимо в виде

,

где  при .

Главная часть полного приращения , линейная относительно  и , т.е. , называется полным дифференциалом функции  в точке  и обозначается .

Таким образом, .

Дифференциалом независимой переменной по определению считаем ее приращение, т.е. , .

Функция называется дифференцируемой на множестве D, если она дифференцируема в каждой точке множества D.

Теорема 1. Если функция  дифференцируема в точке  и  - ее дифференциал в этой точке, то в этой точке существуют частные производные функции f, и, кроме того,

=А, =В.

Теорема 1 дает возможность вычислять дифференциал функции f по формуле 

+  .

Согласно теореме 1, если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные функции. Обратное не верно. Для дифференцируемости функции требуется выполнение более сильных условий, чем наличие частных производных в точке.

Теорема 2. Если частные производные   и  функции f существуют в некоторой окрестности точки  и непрерывны в , то функция f дифференцируема в точке .

Пример 6. Вычислим частные производные и дифференциал функции  в точке (1, 1/5).

 ,

 

 .

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Теорема  3. Пусть функции  и  определены в некоторой окрестности точки , а функция  определена в некоторой окрестности точки .

Если функция f дифференцируема в точке , а в точке  существуют производные , то в точке  существует производная сложной функции , причем

 .

 Пример 7. Найдем частные производные сложной функции , где , .

 ,

.

Пример 8. Найдем производную сложной функции , где , . В этом примере функции x и y зависят от одной переменной  t, поэтому сложная функция - функция одной переменной.

.

Пример 9. Пусть f(u) - произвольная дифференцируемая функция. Докажем, что функция  удовлетворяет уравнению . Положим .

Тогда .

.

 Следовательно,

.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

 Пусть функция  в окрестности точки  имеет частную производную .

Частная производная функции  по переменной x называется частной производной второго порядка по переменной x и обозначается  или .

Частная производная  по переменной y называется частной производной второго порядка по переменным x и y и обозначается  или .

Аналогично определяются частные производные второго порядка  и  ( и ) как частные производные функции .

Производные  и  называются смешанными частными производными.

  Теорема 4. Пусть функция  определена вместе со своими частными производными , , ,  в некоторой окрестности точки , причем смешанные производные  и  непрерывны в этой точке. Тогда значения смешанных производных в этой точке равны, т.е. =.

 Частные производные от производных второго порядка называются частными производными третьего порядка:  и т.д.

 Частная производная (по любой из независимых переменных) от частной производной порядка m-1 называется частной производной порядка m.

Теорема 4 справедлива и для смешанных производных третьего, четвертого и более высоких порядков. Например, если функция  определена вместе со своими частными производными до порядка 3 включительно в некоторой окрестности точки , причем смешанные производные ,  и  непрерывны в этой точке, то значения смешанных производных в этой точке равны: ==.

Дифференциалом второго порядка функции двух переменных называется дифференциал от дифференциала первого порядка.

Если функция  дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки  (т.е. существуют непрерывные частные производные функции f до второго порядка включительно в окрестности точки ), тогда

.

Пример 10. Найдем производные второго порядка дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , где .

.

 =

= ,

 =

=

аналогично вычисляем

.

 

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)