Дифференцирование исчисление - решение задач

 

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производная функции, ее геометрический и физический смысл Определение. Производной функции x ) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Односторонние производные функции в точке

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции

Логарифмическое дифференцирование Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Производная показательно - степенной функцииПроизводная обратных функций

Дифференциал функции Определение. Дифференциалом функции f ( x ) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.

Геометрический смысл дифференциалаДифференциал сложной функции

Формула Тейлора Формула Маклорена

Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора

Функция f(x) = sinx.Функция f(x) = cosx.Пример: Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.Пример: Вычислить sin28013¢15¢¢.Функция f(x) = ln(1 + x).

Теоремы о среднем

Теорема Ролля Теорема ЛагранжаТеорема Коши
Раскрытие неопределенностей

Правило Лопиталя

Пример: Найти предел .
Производные и дифференциалы высших порядков

Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функций

  Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

 2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Точки экстремума

Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Асимптоты Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Пример
Схема исследования функций

Векторная функция скалярного аргумента

Свойства производной векторной функции скалярного аргумента

Параметрическое задание функции

Уравнения некоторых типов кривых в параметрической форме

Производная функции, заданной параметрически

Кривизна плоской кривой

Свойства эволюты

Кривизна пространственной кривой

О формулах Френе

  • Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию  и построить ее
  • Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.график.
  • Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

 Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки . Если существуют конечные пределы  и , то они называются частными производными функции  в точке  по переменным x и y соответственно и обозначаются  и  (или:  и ).

 Для вычисления частной производной  (или ) пользуются известными формулами и правилами дифференцирования функции одной переменной, считая другую переменную y (или x) постоянной величиной.

Пример  5. Найдем частные производные функции .

Если считать y=const, то  - степенная функция от x , поэтому .

Если x=const, то  - показательная функция от y, и, следовательно, .

 Функция  называется дифференцируемой в точке , если существуют числа А и В такие, что приращение   функции f в точке  представимо в виде

,

где  при .

Главная часть полного приращения , линейная относительно  и , т.е. , называется полным дифференциалом функции  в точке  и обозначается .

Таким образом, .

Дифференциалом независимой переменной по определению считаем ее приращение, т.е. , .

Функция называется дифференцируемой на множестве D, если она дифференцируема в каждой точке множества D.

Теорема 1. Если функция  дифференцируема в точке  и  - ее дифференциал в этой точке, то в этой точке существуют частные производные функции f, и, кроме того,

=А, =В.

Теорема 1 дает возможность вычислять дифференциал функции f по формуле 

+  .

Согласно теореме 1, если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные функции. Обратное не верно. Для дифференцируемости функции требуется выполнение более сильных условий, чем наличие частных производных в точке.

Теорема 2. Если частные производные   и  функции f существуют в некоторой окрестности точки  и непрерывны в , то функция f дифференцируема в точке .

Пример 6. Вычислим частные производные и дифференциал функции  в точке (1, 1/5).

 ,

 

 .

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Теорема  3. Пусть функции  и  определены в некоторой окрестности точки , а функция  определена в некоторой окрестности точки .

Если функция f дифференцируема в точке , а в точке  существуют производные , то в точке  существует производная сложной функции , причем

 .

 Пример 7. Найдем частные производные сложной функции , где , .

 ,

.

Пример 8. Найдем производную сложной функции , где , . В этом примере функции x и y зависят от одной переменной  t, поэтому сложная функция - функция одной переменной.

.

Пример 9. Пусть f(u) - произвольная дифференцируемая функция. Докажем, что функция  удовлетворяет уравнению . Положим .

Тогда .

.

 Следовательно,

.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

 Пусть функция  в окрестности точки  имеет частную производную .

Частная производная функции  по переменной x называется частной производной второго порядка по переменной x и обозначается  или .

Частная производная  по переменной y называется частной производной второго порядка по переменным x и y и обозначается  или .

Аналогично определяются частные производные второго порядка  и  ( и ) как частные производные функции .

Производные  и  называются смешанными частными производными.

  Теорема 4. Пусть функция  определена вместе со своими частными производными , , ,  в некоторой окрестности точки , причем смешанные производные  и  непрерывны в этой точке. Тогда значения смешанных производных в этой точке равны, т.е. =.

 Частные производные от производных второго порядка называются частными производными третьего порядка:  и т.д.

 Частная производная (по любой из независимых переменных) от частной производной порядка m-1 называется частной производной порядка m.

Теорема 4 справедлива и для смешанных производных третьего, четвертого и более высоких порядков. Например, если функция  определена вместе со своими частными производными до порядка 3 включительно в некоторой окрестности точки , причем смешанные производные ,  и  непрерывны в этой точке, то значения смешанных производных в этой точке равны: ==.

Дифференциалом второго порядка функции двух переменных называется дифференциал от дифференциала первого порядка.

Если функция  дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки  (т.е. существуют непрерывные частные производные функции f до второго порядка включительно в окрестности точки ), тогда

.

Пример 10. Найдем производные второго порядка дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , где .

.

 =

= ,

 =

=

аналогично вычисляем

.

 

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)