Интегральное исчисление - решение задач

Инженерная графика
Начертательная геометрия
Практикум решения задач
Инженерная графика
Спецификация
Правила нанесения размеров
Выполнение чертежей деталей
Решение метрических задач
Единая система конструкторской
документации
Машиностроительное черчение
База графических примеров
Геометрическое черчение

Первообразная функция

Функция >F ( x ) называется первообразной функцией  функции >f ( >x ) на отрезке [ >a , >b ], если в любой точке этого отрезка верно равенство: >F ¢ ( >x ) = >f ( x ). Пример
Методы интегрирования Рассмотрим три основных метода интегрирования. Интегрирование элементарных дробей

Интегрирование рациональных функций

 Пример.    Интегрирование некоторых тригонометрических функций Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида  Здесь >R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных >sinx > и >cosx . .

Интеграл произведения синусов и косинусов

нтегрирование некоторых иррациональных функцийИнтегрирование биноминальных дифференциалов

Биноминальным дифференциалом называется выражение >xm ( a + >bxn ) >p >dx где >m , >n , и >p – рациональные числа.
Определенный интеграл
Свойства
Вычисление определенного интеграла Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.
Замена переменных
Интегрирование по частям Вычисление объемов тел.Функции нескольких переменныхПроизводные и дифференциалы функций нескольких переменных
  Пример . Найти полный дифференциал функции > .
Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала
Частные производные высших порядковЭкстремум функции нескольких переменных
Условный экстремум
Производная по направлению
 Пример. Вычислить производную функции z = >x 2 + y 2 >x > в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).
ГрадиентКратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.
Условия существования двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла Пример. Вычислить интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2. Тройной интеграл При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет. Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве. Цилиндрическая система координатГеометрические и физические приложения кратных интеграловВычисление площади кривой поверхности

Вычисление площадей в полярных координатах

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

  ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРАФИК ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

 Пусть  и каждой точке  поставлено в соответствие число . Тогда говорят, что на множестве D определена числовая функция нескольких переменных .

Множество D называется областью определения функции, точка  - аргументом функции.

 Будем далее рассматривать функцию двух переменных . Отметим, что все сказанное ниже можно распространить и на функцию n переменных, где n>2.

 Множество всех точек , для которых функция , заданная аналитически, имеет смысл, называется естественной областью определения этой функции.

Например, областью определения функции  является открытый круг радиуса 2 с центром в начале координат, который задается неравенством .

 Графиком функции , где , называется множество . Оно задает некоторую поверхность в пространстве .

Например, графиком функции , , является параболоид.

 Пример 1. Найдем область определения функции .

 Функция  определена в тех точках плоскости , где .

Это неравенство равносильно совокупности двух систем:

 и .

Первой системе неравенств удовлетворяют координаты всех точек, расположенных на параболе  или выше нее, и лежащих в полуплоскости . Это множество заштриховано на рисунке 1. Второй системе удовлетворяют координаты точек, лежащих в множестве, заштрихованном на рис. 2. Следовательно, областью определения данной функции является объединение найденных множеств, т.е. множество, которое выделено штриховкой на рис. 3.

Линией уровня функции , называется множество точек , удовлетворяющих уравнению .

Аналогично определяются уровни (или поверхности уровня) функции n переменных, если n>2.

 Пример 2. Найдем линии уровня функции .

 Отметим, что функция определена на всей плоскости .

Для построения линий уровня надо для любого  найти множество точек плоскости, координаты x, y которых удовлетворяют уравнению . Следовательно, если , то , а если , то .

Очевидно, что с отрицательным быть не может (в этом случае говорят, что с-уровнем функции при c<0 является пустое множество).

Найдем линию уровня при с=0:

.

Аналогично находятся линии уровня для различных с>0.

 

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

 Множество  (открытый круг радиуса   с центром в точке ) называется -окрестностью точки . Через  будем обозначать проколотую окрестность точки .

 Точка  называется предельной точкой множества , если пересечение любой -окрестности точки  и множества D содержит хотя бы одну точку, отличную от , т.е. для  .

Заметим, что предельная точка может и не принадлежать множеству D.

 Пусть функция  определена на множестве D и точка  - предельная точка D. 

Число А называется пределом функции  в точке , если для любой -окрестности  точки А () существует -окрестность  точки  такая, что для любой точки  значение функции  попадает в окрестность .

Таким образом, 

 :  )

 

 :  ).

 Пример 3. Докажем, что .

 Заметим, что данная функция определена на всей плоскости  за исключением точки (0,0).

Поскольку , то для любого  существует  (а именно ) такое, что для всех точек , удовлетворяющих условию , справедливо неравенство .

 Функция  называется непрерывной в точке , если .

Функция называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке множества D.

 Пример 4. 1) Функция  непрерывна в точке (0,0), поскольку  (см. пример 3).

 2) Функция  в точке (0,0) терпит разрыв, т.к.

 .

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)