Расчет сжатых составных колон на устойчивость

Методы преобразования комплексного чертежа (эпюра Монжа)
Инженерная графика
Начертательная геометрия
Практикум решения задач
Инженерная графика
Спецификация
Правила нанесения размеров
Выполнение чертежей деталей
Решение метрических задач
Единая система конструкторской
документации
Машиностроительное черчение
База графических примеров
Геометрическое черчение
Начертательная геометрия
Метод проецирования
Комплексный чертеж линии
Комплексный чертеж
пространственной кривой
Классификация поверхностей
Конические сечения
Поверхности вращения второго порядка
Метрические задачи
Информатика
Концепция организации локальных сетей
Типы глобальных сетей
Управление системами
Ядерные программы
Программа развития ядерной энергетики
Программа развития АЭС до 2050 г
Гидроэлектростанции
Развитие ядерной индустрии
в странах мира
Ядерная программа Индии
Получение плутония
Ядерная программа Пакистана
Ядерная программа Южно-африканской
республики
Эволюция ядерных арсеналов
Создание энергетики на базе реакторов
на тепловых нейтронах
Ядерно-энергетические комплексы
Энергетическая  безопасность
Реакторы на быстрых нейтронах
Физические основы ядерной индустрии
Деление атомных ядер под действием
нейтронов
Бета-излучение
Радиация проникающая
Источник Y-излучения
 
Деформированное состояние тела, представляя собой равновесие между внешними и внутренними силами, может быть не только устойчивым, но и неустойчивым.

При устойчивом равновесии, тело, отклоненное, какой либо внешней силой от положения равновесия возвращается, в это положение после прекращения действия силы. При неустойчивом равновесии тело приобретает стремление продолжить деформироваться в направлении данного ему отклонения.

При каких-то нагрузках деформируемое тело сохраняет первоначально приданную ему форму и находиться в состоянии устойчивого упругого равновесия. При увеличении нагрузки до некоторой величины деформируемое тело внезапно теряет устойчивость, форма тела резко изменяется, напряжения очень быстро возрастают и в конечном итоге тело разрушается.

Между устойчивым и неустойчивым состоянием равновесия находится переходное критическое состояние, а нагрузка соответствующая этому состоянию называется критической (Ркр).

Критическая нагрузка при расчете на устойчивость аналогична разрушающей нагрузке при расчете на прочность. Для создания запаса устойчивости, необходимо соблюдать условие:

,

гдесоответственно действующая, критическая и допускаемые нагрузки; - коэффициент запаса устойчивости.

Если теперь разделить обе части неравенства на площадь сечения стержня, то получим следующее: ,

где соответственно действующее, критическое и допускаемое напряжения при расчете на устойчивость.

Величину коэффициента запаса устойчивости при статической нагрузке обычно берут: для стали=1,7…3, для дерева=3…4; для чугуна =5…6. .

Из всего многообразия расчетов на устойчивость упругих систем практический интерес имеет случай потери устойчивости при сжатии тонкого длинного стержня (продольный изгиб).

Для определения критической силы для стержня с шарнирно закрепленными концами используют формулу Эйлера:

,

где Е – модуль продольной упругости материала стержня; Imin - минимальный момент инерции поперечного сечения стержня; - длина стержня.

При других способах закрепления концов стержня, вместо действительной длины стержня  пользуются так называемой приведенной длиной , где- коэффициент приведения длины.

Для четырех наиболее часто встречающихся случаев закрепления концов стержня имеет следующие значения:

для стержня с шарнирно закрепленными концами ………………..;

для стержня с обоими заделанными концами …………………...;

для стержня с одним заделанным и другим свободным концом…………………………………………………………………….;

для стержня с одним заделанным и другим шарнирно закрепленным концом ……………………………………………………………...;

С учетом вышеизложенного формула Эйлера примет следующий вид:

.

То есть значение критической силы прямо пропорционально жесткости поперечного сечения стержня при изгибе и обратно пропорционально квадрату длины стержня.

По значению критической силы может быть определено критическое сжимающее напряжение:

где ;- минимальный радиус инерции;

гибкость стержня.

Формула Эйлера справедлива только тогда, когда напряжения  в материале, вызванные критической силой, не превышает предела пропорциональности:

Это следует из того, что в основу вывода формулы Эйлера положено дифференциальное уравнение упругой линии, которым можно пользоваться лишь в пределах применимости закона Гука.

Из этого выражения найдем значение предельной гибкости :

Предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня – его модуля упругости и предела пропорциональности.

С учетом вышеизложенного, формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня применима при условии, что его гибкость больше предельной:

Для стали Ст.3, чугуна  и дерева. Для стали с повышенным значением  предельная гибкость уменьшается, например для некоторых марок легированных сталей .

Критическое напряжение для стержней, гибкость которых ниже предельной, определяется по эмпирическим формулам, например по формуле Ф.С. Ясинского:

где а, в, с - определяемые экспериментально коэффициенты, зависящие от свойств материала.

Значения коэффициентов а, в и с, а также значения гибкостей  при которых можно пользоваться формулой Ясинского приводим в таблице 7.1.

Таблица 7.1

Материал

а, кг/см2

в, кг/см2

с, кг/см2

Сталь Ст.3

3100

11,4

0,00

Сталь Ст.5

4640

36,17

0,00

Кремнистая сталь

5890

38,17

0,00

Чугун серый

7760

120,00

0,53

Дерево

293

1,94

0,00

При гибкости меньшей предела, справедливого для формулы Ясинского, напряжение считается примерно постоянным и равным пределу текучести материала .

Умножением величины критического напряжения на площадь поперечного сечения стержня Абрутто может быть определена критическая сила.

Для сжатых стержней, кроме условия прочности, должно быть удовлетворено также условие устойчивости:

,

где Абрутто - площадь брутто поперечного сечения стержня, то есть без учета ослаблений.

Имеющие ослабления по сечению стержня в виде отверстий под болты, заклепки или врубки имеют локальный характер и практически не влияют на величину критической силы (жесткость сечения не изменяется).

Коэффициент запаса устойчивости принимаются в расчетах более высоким, чем коэффициент запаса прочности. Поэтому, допускаемое напряжение на устойчивость связано с допускаемым напряжением на прочность следующим выражением:

,

где- коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения для сжатых стержней (коэффициент продольного изгиба).

Значение коэффициентов  приведены в таблице 7.2. Они зависят от материала стержня и его гибкости.

Таблица 7.2.

Гибкость элементов

Коэффициенты

сталь марок

чугун марок

дерево

Ст.0; Ст.2; Ст.3; Ст.4

Ст.5; НЛ1

НЛ2

СЧ15-32; СЧ12-28 СЧ18-36; СЧ21-40

СЧ24-44; СЧ28-48;

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

1,00

0,88

0,97

0,95

0,92

0,89

0,86

0,81

0,75

0,69

0,60

0,52

0,45

0,40

0,36

0,32

0,29

0,26

0,23

0,21

0,19

1,00

0,98

0,95

0,93

0,90

0,84

0,80

0,74

0,66

0,59

0,50

0,43

0,38

0,32

0,28

0,27

0,24

0,21

0,19

0,17

0,15

1,00

0,98

0,95

0,93

0,90

0,83

0,78

0,71

0,63

0,54

0,45

0,39

0,33

0,29

0,25

0,23

0,21

0,19

0,17

0,15

0,13

1,00

0,97

0,91

0,81

0,69

0,57

0,44

0,34

0,26

0,20

0,16

-----

-----

-----

-----

-----

-----

-----

-----

-----

-----

1,00

0,95

0,87

0,75

0,60

0,43

0,32

0,23

0,18

0,14

0,12

-----

-----

-----

-----

-----

-----

-----

-----

-----

-----

1,00

0,99

0,97

0,93

0,87

0,80

0,71

0,60

0,48

0,38

0,31

0,25

0,22

0,18

0,16

0,14

0,12

0,11

0,10

0,09

0,08

Условие устойчивости после замены через  принимает вид:

.

Кроме условия устойчивости, сжатые стержни должны удовлетворять и условию прочности:

,

где Анетто- площадь сечения стержня с учетом ослаблений.

При сжатии стержень изгибается в направлении наименьшей жесткости, его гибкость тем больше, чем меньше радиус инерции сечения. Отсюда вытекают следующие требования, которым должно удовлетворять сечение стержня, работающего на продольный изгиб:

стержень должен обладать одинаковой жесткостью по всем направлениям. Для этого моменты инерции, а следовательно, и радиусы инерции сечения относительно главных осей должны быть равны. Если же условия закрепления концов стержня в обеих главных плоскостях неодинаковы, как, например, шатун двигателя, то для получения одинаковой жесткости моменты инерции сечения относительно главных осей должны быть подобраны соответственно различными;

момент, а следовательно, и радиус инерции сечения при данной величине его площади должен быть возможно большим. Для этого элементы сечения должны быть удалены, возможно, дальше от его центра тяжести.

Указанным требованиям полностью удовлетворяют пустотелые стержни круглого и квадратного сечений. Стенки пустотелых стержней нельзя делать слишком тонкими, т. к. они могут потерять устойчивость, покрывшись волнистыми складками.

Для повышения устойчивости стенок принимают продольные ребра жесткости или поперечные распорки (диафрагмы), помещаемые на определенных расстояниях.

Покажем вышеизложенное на примере.

Определить горизонтальное смещение хС точки С рамы, изображенной на рис. 4.6.5, а. Жесткость на изгиб всех участков рамы постоянна и равна EI.

Для определения опорных реакций H, RA, RB, MA составим уравнения равновесия: откуда H = 0, далее  тогда  

Определить опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов М и поперечных сил Q для балки с консолью (рис. 4.7.3). Жесткость балки на изгиб постоянна и равна EI.

Определить опорные реакции, построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для двухпролетной балки, изображенной на рис. 4.7.5. Принять, что F1 = F.

Сварная балка Требуемый момент сопротивления Wzn сварных балок вычисляют по формуле (4.2.7), после чего приступают к компоновке составного сечения.

Установив размеры стенки, определяют ее осевой момент инерции  (4.8.5).

Максимальный изгибающий момент в середине пролета балки составляет максимальная поперечная сила на опорах:

Проверим касательные напряжения по нейтральной оси поперечного сечения у опоры балки.

Для консольной двутавровой балки, загруженной горизонтальной силой F1 = 0,56 кН и вертикальной силой F2 = 5,84 кН (рис. 5.1.3), построить эпюру нормальных напряжений в защемлении и найти максимальное нормальное напряжение σmax.

Для балки, лежащей на двух опорах и загруженной тремя вертикальными сосредоточенными силами F1 = F3 = 10 кН, F2 = 20 кН и равномерно распределенной горизонтальной нагрузкой q = 24кН/м, требуется подобрать прямоугольное поперечное сечение с отношением сторон .

Внецентренное растяжение и сжатие бруса большой жесткости.  Ядро сечения.

Найти допускаемую нагрузку для бруса, показанного на рис. 5.2.4, если расчетные сопротивления материала бруса на растяжение и сжатие равны

Radm,t = 20 МПа; Radm,с = 100 МПа.

Построить эпюру нормальных напряжений и определить положение нейтральной линии в прямоугольном поперечном сечении короткого столба, нагруженного вертикальной сосредоточенной силой F, приложенной так, как показано на рис. 5.2.5.

Для круглого поперечного сечения с радиусом R ядро сечения представляет собой соосный круг меньшего радиуса r = R/4.

На рис. 5.2.14 изображено поперечное сечение бруса и показаны центры тяжести четырех простых элементов, составляющих это поперечное сечение.

Совместное действие изгиба и кручения Для выявления опасного сечения при совместном действии изгиба и кручения строятся эпюры крутящих и изгибающих моментов по правилам  глав 3 и 4.

Рассчитать радиус круглого цилиндрического вала с прямой осью, несущего два шкива, весом каждый по 1 кН и с одинаковыми диаметрами D = 0,5 м.

Керамическая труба подвержена действию крутящего момента Т = 0,08 кН·м и изгибающего момента М = 0,06 кН·м.

Построить эпюры крутящего Мх и изгибающих Му, Мz моментов, нормальных N и поперечных Qy, Qz сил, действующих в поперечных сечениях пространственного ломаного бруса, показанного на рис. 5.3.8, а. Брус состоит из прямолинейных участков, перпендикулярных друг другу.

Все полученные числовые значения откладываем на соответствующих эпюрах. Из полученных эпюр видно, что наиболее опасным поперечным сечением будет сечение на опоре А, в котором действуют N(AB)= N = –1 кН;

Лекции курсовые задачи чертежи лабораторные - математика, физика, ТОЭ, инженерная графика